さて、最初のページでネズミの話をしましたよね。餌は何年後に足りなくなるかという問題でした。
あの時は、実際に表を作って何年後にネズミは何匹居て、トータルで餌をどれだけ消費したのかを、数えてみました。
| 年数 | 個体数 | 消費した餌の総量 | 計算式 |
|---|---|---|---|
| １年目 | ２匹 | ２年分 | 2=2 |
| ２年目 | ４匹 | ６年分 | 2+4=6 |
| ３年目 | ８匹 | １４年分 | 2+4+8=14 |
| ４年目 | １６匹 | ３０年分 | 2+4+8+16=30 |
| ５年目 | ３２匹 | ６２年分 | 2+4+8+16+32=62 |
| ６年目 | ６４匹 | １２６年分 | 2+4+8+16+32+64=126 |
数学にとって、この様に実際に書いてみるのはとても大切な事です。（数学は算数じゃないからね！数学は計算する事じゃないよ！）
が、いつもこの様に書いて調べる訳にもいきません。だって、「１００年分」だから数えられたけど、「十万年分」だったらどうします？数えるの？やだなぁ。
そこで、そういう場合には、算数（計算）の力を借りましょう。
ネズミの数自身、２、４、８、１６、３２・・・・は、等比数列のページで計算で求める方法を説明しましたよね。
で計算出来ました。
じゃあ、消費した餌の量、２、６、１４、３０、６２・・・というのも、簡単な計算で出せませんかね？
そこで、初項から第ｎ項までの和をＳｎと書く事にしましょうよ。
つまり、
と書く訳です。
で、まず結論から書きますと、初項ａ1公比ｒの等比数列の、初項から第ｎ項までの和は、
と書ける事が分かっています。
これは今後非常に良く使いますし、導出が簡単ではないので、覚えて下さい。
例のネズミの数の数列は、初項２、公比２ですから、
と書ける訳ですね。これさえ分かっていれば、ｎに数字を代入するだけで、食べちゃった餌の数は出るんです。