（問題２の解説）
「ｆ(x)を（Ｘ−１）で割ると１余る」という日本語を、数学用語に書き換えると、適当な関数ｇ(x)を使って、
ｆ(x)＝（Ｘ−１）・ｇ(x)＋１
と書けますね。（ｇ(x)が何物かは、全然分かんないケドね）
「ｆ(x)を（Ｘ−２）（Ｘ−３）で割ると５余る」という日本語を、数学用語に書き換えると、適当な関数ｈ(x)を使って、
ｆ(x)＝（Ｘ−２）（Ｘ−３）・ｈ(x)＋５
と書けますね。（やっぱり、ｈ(x)が何物かは、全然分かんないケドね）
ここで、問題を解く上では関係ないのですが、厳密な話をつけくわえておきましょう。
（Ｘ−２）（Ｘ−３）は、Ｘ2−５Ｘ＋６ですから、二次式です。ですから本来、余りは一次式、つまり、「ａＸ＋ｂ」型のハズです。しかし、ここでは「５」と言う定数ですね。おかしくありません？
おかしくないのですね。たまたま「ａＸ＋ｂ」で「ａ＝０」になっているダケです。ですから正確には、
ｆ(x)＝（Ｘ−２）（Ｘ−３）・ｈ(x)＋（０Ｘ＋５）
です。（ａ＝０になっているのは、解き難くするためのヒッカケです）
さて、ここまでが準備です。
次は、問題の核心 「（Ｘ−１）（Ｘ−２）（Ｘ−３）で割った時の余りを求めよ」 の部分を、数式に訳しましょう。
（Ｘ−１）（Ｘ−２）（Ｘ−３）は３次式ですから、余りは二次式です。
ですから、余りは「ａＸ2＋ｂＸ＋ｃ」と書けます。
そうすると、未知関数ｊ(x)を使って、
ｆ(x)＝（Ｘ−１）（Ｘ−２）（Ｘ−３）・ｊ(x)＋（ａＸ2＋ｂＸ＋ｃ）
と書けるでしょ？
では、以上の三本の式をまとめると、問題文は
ｆ(x)＝（Ｘ−１）・ｇ(x)＋１ ・・・・・ @
ｆ(x)＝（Ｘ−２）（Ｘ−３）・ｈ(x)＋５ ・・・・・ A
ｆ(x)＝（Ｘ−１）（Ｘ−２）（Ｘ−３）・ｊ(x)＋（ａＸ2＋ｂＸ＋ｃ） ・・・・・ B
と訳せた訳です。
ところで、@から、
ｆ(1)＝１
Aからは、
ｆ(2)＝５
ｆ(3)＝５
と分かりますね。
さらに、Bに直接Ｘ＝１,２,３を代入すると、
ｆ(1)＝ａ＋ｂ＋ｃ
ｆ(2)＝４ａ＋２ｂ＋ｃ
ｆ(3)＝９ａ＋３ｂ＋ｃ
でしょ？
じゃあ、それぞれを比較すると、
ｆ(1)＝ａ＋ｂ＋ｃ＝１
ｆ(2)＝４ａ＋２ｂ＋ｃ＝５
ｆ(3)＝９ａ＋３ｂ＋ｃ＝５
ですね。あとはａ,ｂ,ｃの連立方程式です。これは解けますね？
ａ＝−２
ｂ＝１０
ｃ＝−７
ですから、余りは
−２Ｘ2＋１０Ｘ−７
です。
ＯＫ？
これが入試問題です。（だからヒッカケがあったのね）
長崎大学の問題でした。
一応、解答を下にまとめておきました。
これが入試定番の「因数定理」の問題の、基本レベルです。
これが理解できたら、参考書に進みましょう！
（問題２の答）